Özdeş Parçacıklar: Mikrodurum Sayımı ve Gibbs Paradoksu
Kuantum mekaniğinde özdeş parçacıklar ilke olarak ayırt edilemez: bir mikrodurum, hangi parçacığın hangi seviyede olduğuyla değil, yalnızca her seviyedeki parçacık sayısıyla (doluluk sayıları $n_j$) belirlenir. Bozonlarda $n_j = 0, 1, 2, \dots$; fermiyonlarda Pauli ilkesi gereği $n_j = 0$ veya $1$ olabilir. $N$ parçacık ve $n$ tek-parçacık seviyesi için mikrodurum sayıları:
$$\Omega_{\text{ayırt}} = n^N,\qquad \Omega_{\text{bozon}} = \binom{n+N-1}{N},\qquad \Omega_{\text{fermiyon}} = \binom{n}{N}.$$Kanonik kümede her mikrodurumun ağırlığı $e^{-E_s/kT}$'dir. Ortalama doluluk sayıları büyük kanonik formüllere, $\langle n_j\rangle = 1/(e^{(\varepsilon_j-\mu)/kT} \mp 1)$, yalnızca parçacık sayısı büyük olduğunda tam olarak uyar; burada tam kanonik sayımla karşılaştırıyoruz. $\langle n_j\rangle \ll 1$ olan (seyreltik) seviyelerde üç istatistik de Maxwell–Boltzmann'a yaklaşır.
Gibbs paradoksu ve 1/N!
Klasik bölüşüm fonksiyonu $Z = z^N$ ile hesaplanan entropi geniş (extensive) değildir: aynı gazın iki yarısını birleştirmek sahte bir $2Nk\ln 2$ entropi artışı verir. Gibbs'in önerdiği $Z = z^N/N!$ düzeltmesi, özdeş parçacıkların yer değiştirmesinin yeni bir mikrodurum oluşturmadığını ifade eder ve Sackur–Tetrode formülüne götürür:
$$\frac{S}{Nk} = \ln\!\left[\frac{V}{N\lambda^3}\right] + \frac52,\qquad \lambda = \frac{h}{\sqrt{2\pi m kT}}.$$Parametreler
Seviyeler eşit aralıklıdır: $\varepsilon_j = j\,\varepsilon$ ($j = 0, 1, \dots, n-1$). Her kutu bir mikrodurumdur; alttaki çubuk o durumun $T$ sıcaklığındaki olasılığını gösterir. Bir kutuya tıklayarak ayrıntısını görün.
Hesaplama
Bunu dene
1. $N = 2$ parçacık ve $n = 3$ seviye seçin. Her istatistik için mikrodurum sayısını sayın. Çok yüksek sıcaklıkta (tüm mikrodurumlar eşit olasılıklı) iki parçacığın aynı seviyede bulunma olasılığı her istatistikte nedir?
Açıklama
2. $N = 2$, $n = 5$, $kT/\varepsilon = 0.5$ seçin. En üst seviyenin ($j = 4$) ortalama doluluğunu üç istatistikte karşılaştırın. Ardından en alt seviyeye bakın. Hangisinde istatistikler birbirinden çok farklı?
Açıklama
3. Gibbs paradoksu modunda önce "farklı gazlar", sonra "aynı gaz" seçip bölmeyi kaldırın. Her yarıda 1 mol varsa karışma entropisi nedir? 1/N! çarpanı olmadan hesaplanan entropi, aynı gaz için ne kadar sahte bir artış verir?