Fermi ve Bose Parçacıkları: Bose–Einstein Yoğuşması
Büyük kanonik kümede $\varepsilon$ enerjili tek parçacık durumunun ortalama doluluğu, parçacıkların türüne göre
$$\langle n\rangle_{\text{FD}} = \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1},\qquad \langle n\rangle_{\text{BE}} = \frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}-1},\qquad \langle n\rangle_{\text{MB}} = e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}$$olur. $(\varepsilon-\mu)\gg kT$ iken üçü de aynı klasik sonuca gider. Bozonlarda $\langle n\rangle \ge 0$ olması için $\mu < \varepsilon_0$ (en düşük seviye) olmalıdır.
Kutudaki ideal Bose gazında parçacık sayısı $n\lambda^3 = g_{3/2}(z)$ ($z = e^{\mu/kT}$, $\lambda = h/\sqrt{2\pi mkT}$) koşulundan bulunur. $g_{3/2}(z)$ en çok $g_{3/2}(1) = \zeta(3/2) = 2.612$ olabildiğinden, $T_c$'nin altında uyarılmış durumlar bütün parçacıkları alamaz; artakalan parçacıklar taban durumda toplanır:
$$kT_c = \frac{2\pi\hbar^2}{m}\left(\frac{n}{\zeta(3/2)}\right)^{2/3},\qquad \frac{N_0}{N} = 1 - \left(\frac{T}{T_c}\right)^{3/2}.$$Polilogaritma fonksiyonları ve foton gazı
$g_\nu(z) = \sum_{k\ge1} z^k/k^\nu$. Enerji $E = \tfrac32 NkT\, g_{5/2}(z)/g_{3/2}(z)$ (T > T_c) ve $E = \tfrac32 kT\,V\lambda^{-3}\zeta(5/2)$ (T < T_c) ile verilir. Fotonlar ve fononlar için parçacık sayısı korunmadığından $\mu = 0$'dır; $\langle n\rangle = 1/(e^{\hbar\omega/kT}-1)$ Planck dağılımıdır (bkz. kara cisim ışıması).
Parametreler
Grafiğe tıklayarak bir $x = (\varepsilon-\mu)/kT$ değeri seçin. Üç dağılımın oranlarına ve klasik limite bakın.
Hesaplama
Bunu dene
1. Doluluk modunda $x = (\varepsilon-\mu)/kT = 3$ noktasını seçin. FD ve BE dolulukları MB değerinden yüzde kaç farklı? $x = 0.1$'de durum nasıl?
Açıklama
2. Kutudaki Bose gazında ısı sığasının en büyük değeri nerede ve ne kadardır? $T \gg T_c$'de hangi değere gider?
Açıklama
3. ⁴He sıvısının yoğunluğu (145 kg/m³) için ideal Bose gazının $T_c$ değeri nedir? Deneysel λ-noktası 2.17 K ile karşılaştırın. Tuzak modunda $N = 10^6$, $\bar\omega/2\pi = 100$ Hz için $T_c$ kaç nK'dir?