Moleküler Demet ve Maxwell–Boltzmann Hız Dağılımı
$T$ sıcaklığındaki ideal gazda bir molekülün hız büyüklüğünün dağılımı, kanonik ağırlık $e^{-mv^2/2kT}$ ile hız uzayındaki küresel kabuk hacminin ($4\pi v^2\,dv$) çarpımıdır:
$$f(v)\,dv = 4\pi\left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} v^2\, e^{-mv^2/2kT}\,dv,\qquad v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}},\quad \langle v\rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},\quad v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}.$$Fırının küçük bir deliğinden çıkan (efüzyon) moleküllerde ise hızlı moleküller deliğe daha sık çarptığı için akı fazladan bir $v$ çarpanı taşır: $J(v) \propto v\,f(v) \propto v^3 e^{-mv^2/2kT}$. Demetin karakteristik hızları daha büyüktür:
$$v_p^{\text{demet}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}},\qquad \langle v\rangle_{\text{demet}} = \sqrt{\frac{9\pi kT}{8m}},\qquad v_{\text{rms}}^{\text{demet}} = \sqrt{\frac{4kT}{m}}.$$Aynı Boltzmann çarpanı, yerçekimi alanında yükseklik dağılımını da verir: $n(z) = n(0)\,e^{-mgz/kT}$; ölçek yüksekliği $H = kT/mg$'dir.
Yarıklı disk hız seçicisi
Ortak bir mil üzerinde, aralarında $L$ uzaklığı bulunan iki disk $\omega$ açısal hızıyla döner; ikinci diskin yarığı birinciye göre $\varphi$ açısı kadar kaydırılmıştır. Birinci yarıktan geçen bir molekül ikinci diske $L/v$ sürede ulaşır; bu sürede disk $\omega L/v$ kadar döner. Molekül, $\omega L/v \approx \varphi$ ise geçer: $v_0 = \omega L/\varphi$. Yarık açısal genişliği $\delta$ ise geçirgenlik üçgen biçimlidir ve bağıl çözünürlük $\Delta v/v \approx \delta/\varphi$ olur. Pencere genişliği $v_0$ ile orantılı arttığı için ölçülen ham sinyal $\propto v_0\,J(v_0) \propto v_0^4 e^{-mv_0^2/2kT}$ şeklindedir; dağılımı elde etmek için sinyal $v_0$'a bölünmelidir.
Parametreler
Diskler arası uzaklık $L = 0.50$ m, yarık genişliği $\delta = 1.5^\circ$. "ω taraması" disk hızını adım adım artırır ve her adımda dedektöre ulaşan atomları sayar (Poisson gürültüsüyle). Animasyonda zaman yavaşlatılmıştır ve iki paket arasındaki bir tam disk turu kısaltılmıştır.
Hesaplama
Bunu dene
1. Sezyum (Cs) seçip $T = 500$ K yapın. Fırındaki gazın en olası hızı ile demetin en olası hızı nedir? $\varphi = 10^\circ$ iken demetin en olası hızındaki atomları seçmek için disk kaç devir/dakika dönmelidir?
Açıklama
2. Aynı ayarlarla "ω taraması" yapın; önce düzeltme açıkken, sonra kapalıyken sonuçlara bakın. Ham sinyalin tepe noktası hangi hızdadır ve neden demet dağılımının tepesinden farklıdır?
Açıklama
3. Barometrik modda "Hava" seçin ($T = 288$ K). Ölçek yüksekliği nedir ve Everest zirvesinde (8.85 km) basınç deniz seviyesinin kaçta kaçıdır? Sonra "Kolloid" seçin ($r = 0.20$ µm, $\Delta\rho = 200$ kg/m³, $T = 293$ K): $H$ nedir ve Perrin bu ölçümden $N_A$'yı nasıl bulmuştur?