Kare örgünün her noktasında $s_i = \pm1$ değerli bir spin bulunur. En yakın komşu spinler aynı yöndeyken enerji düşüktür:
$$H = -J\sum_{\langle ij\rangle} s_i s_j - h\sum_i s_i .$$
Düşük sıcaklıkta enerji kazancı baskındır ve spinler hizalanır (ferromanyetik düzen, $\langle m\rangle \ne 0$); yüksek sıcaklıkta entropi baskındır ve düzen kaybolur. İki boyutta $h = 0$ için Onsager'in kesin çözümü kritik sıcaklığı ve kendiliğinden mıknatıslanmayı verir:
$$\frac{kT_c}{J} = \frac{2}{\ln(1+\sqrt2)} = 2.2692,\qquad m_0(T) = \left[1 - \sinh^{-4}(2\beta J)\right]^{1/8}\quad (T < T_c).$$
$T_c$ yakınında nicelikler kuvvet yasalarına uyar: $m \propto (T_c - T)^{\beta}$, $\chi \propto |T - T_c|^{-\gamma}$, $\xi \propto |T - T_c|^{-\nu}$; 2B Ising için $\beta = 1/8$, $\gamma = 7/4$, $\nu = 1$, ısı sığası ise logaritmik ıraksar. Bu üsler örgünün ayrıntılarına değil yalnızca boyuta ve simetriye bağlıdır (evrensellik).
Monte Carlo yöntemi ve ortalama alan kuramı
Boltzmann ağırlığı $e^{-\beta H}$ ile doğrudan toplama $2^N$ terim gerektirir. Metropolis algoritması tek spin çevirmeleriyle bu dağılımı örnekleyen bir Markov zinciri kurar. $T_c$ yakınında ilinti uzunluğu büyüdüğü için tek spin güncellemesi çok yavaşlar (kritik yavaşlama); Wolff algoritması ilintili spin kümelerini birlikte çevirerek bu sorunu büyük ölçüde giderir. Ortalama alan kuramı her spinin komşularının ortalama alanını gördüğünü varsayar: $m = \tanh[\beta(zJm + h)]$, $kT_c = zJ = 4J$. Dalgalanmaları ihmal ettiği için iki boyutta $T_c$'yi %76 yüksek bulur.
Bunu dene
1. Serbest koşuda $L = 64$, $kT/J = 2.0$ seçin ve birkaç bin tarama koşun. Ölçülen $\langle|m|\rangle$ ve $\langle e\rangle$ değerlerini Onsager sonuçlarıyla karşılaştırın. Metropolis ve Wolff aynı sonucu veriyor mu?
Açıklama
Onsager: $m_0 = 0.9113$, $u = -1.7456\,J$, $C/Nk = 0.725$. Monte Carlo yaklaşık $\langle|m|\rangle = 0.911$, $\langle e\rangle = -1.745$ verir; fark hata çubukları içindedir. $T = 2.0$'da ilinti uzunluğu birkaç örgü aralığı olduğundan $L = 64$ örgüde sonlu boyut düzeltmesi ihmal edilebilir. İki algoritma da Boltzmann dağılımını örnekler, yalnızca hızları farklıdır.
2. T taramasını Wolff ile yapın ($L = 32$). $C$ ve $\chi$ tepeleri nerede? Ortalama alan kuramının öngördüğü $T_c$ ile karşılaştırın.
Açıklama
Her iki tepe de $kT/J \approx 2.3$ civarındadır; $L = 32$ için χ tepesi $T_c$'nin birkaç yüzde üstüne kayar. Onsager $C$ eğrisi $T_c$'de logaritmik ıraksar, sonlu örgüde tepe sonlu kalır. Ortalama alan $kT_c = 4J$ verir; gerçek değer $2.269J$'dir. Ortalama alanın $m(T)$ eğrisi de çok daha yavaş düşer ($\beta = 1/2$ yerine Onsager'de $\beta = 1/8$).
3. "Sonlu boyut" aracını çalıştırın. Binder kümülantı eğrileri hangi sıcaklıkta kesişiyor? $\chi_{\max}$'ın $L$ ile büyüme üssü nedir?
Açıklama
Eğriler $kT/J \approx 2.25$–$2.27$ aralığında, $U_4 \approx 0.61$–$0.62$ değerinde kesişir (istatistik hata içinde Onsager $T_c = 2.269$); ölçüm sayısı artırıldıkça kesişim $T_c$'ye yaklaşır: kritik noktada $U_4$ ölçekten bağımsızdır. $\log\chi_{\max}$ – $\log L$ eğimi $\gamma/\nu = 7/4$ değerine yakın çıkar (küçük $L$ düzeltmeleri nedeniyle yaklaşık 1.7–1.8). Bu yöntem kesin çözümü bilinmeyen modellerde (örneğin 3B Ising) $T_c$ ve üsleri bulmanın standart yoludur.
4. "Özilinti" aracıyla $L = 32$, $kT/J = 2.269$ için Metropolis ve Wolff'u karşılaştırın. Ardından $kT/J = 1.5$ ve $3.5$'te tekrarlayın.
Açıklama
$T_c$'de Metropolis için $\tau_{|m|} \approx 35$–$50$ tarama, Wolff için $\tau \approx 1.5$ tarama bulunur: tarama başına 25–30 kat fark. Bir Wolff taraması daha pahalı olduğundan CPU zamanı başına kazanç birkaç kat daha azdır (yaklaşık 5–10 kat). Metropolis'in $\tau$ tahminindeki hata %20 mertebesindedir; daha uzun koşu gerekir. $L$ büyüdükçe fark artar ($\tau \propto L^{2.17}$ ile $L^{0.25}$). $T_c$'den uzakta Metropolis'in özilinti zamanı da birkaç taramaya iner; yüksek $T$'de Wolff kümeleri tek spin boyuna küçülür ve avantaj kaybolur.
5. Histerezis aracını $L = 64$, $kT/J = 1.5$ ve sonra $kT/J = 3$ için çalıştırın. Ardından $T = 1.5$'te adım başına tarama sayısını 5 ve 200 yapıp ilmeğin genişliğini karşılaştırın.
Açıklama
$T < T_c$ iken mıknatıslanma ters alanda bir süre eski yönünde kalır; ters bölge çekirdeklenince birden döner ve geniş bir ilmek oluşur. $T > T_c$ iken $m(h)$ tek değerli ve tersinirdir. Alan daha yavaş değiştirildikçe çekirdeklenme için daha çok zaman olur, ilmek daralır: Ising modelinde histerezis dinamik bir olaydır. $L = 64$, $T = 1.5$ için zorlayıcı alan adım başına 5 taramada $h_c \approx 0.75\,J$, 20 taramada $\approx 0.5\,J$, 200 taramada $\approx 0.28\,J$ bulunur. Ortalama alan spinodali ($T = 1.5$ için $h_s = 1.55\,J$) çekirdeklenmeyi ihmal ettiğinden çok daha büyüktür.
6. Söndürme aracında $L = 256$, $kT/J = 1.5$ için rastgele durumdan başlayın. Fazla enerjinin log–log eğimi kaç?
Açıklama
Ara sürelerde (uydurma bölgesinde) eğim yaklaşık $-0.43$ ile $-0.48$ arasında çıkar: bölge boyu $\ell \propto t^{1/2}$ büyür (Allen–Cahn yasası); $-1/2$'den küçük sapma, bilinen ön-asimptotik düzeltmelerden gelir. Erken zamanlarda eğim farklıdır (yerel düzenlenme), geç zamanlarda $\ell \sim L$ olunca sistem tek bölgeye iner ya da kararlı bir şeritte takılır.
7. Landau modunda $u = -1$, $v = 1$, $h = 0$ seçin. Geçiş hangi $r$ değerinde olur? Düzen parametresindeki sıçrama ne kadardır? Yarı kararlılık hangi aralıkta görülür?
Açıklama
$r^* = 3u^2/16v = 0.1875$; sıçrama $m^* = \sqrt{3|u|/4v} = 0.866$. $0 < r < 0.25$ aralığında iki tür minimum birlikte bulunur: $r < r^*$ iken $m = 0$ yarı kararlı, $r > r^*$ iken düzenli minimumlar yarı kararlıdır. $r = 0.25$ ve $r = 0$ spinodallerdir. $u > 0$ seçince sıçrama kaybolur, $m^*$ sürekli olarak $r = 0$'da sıfıra iner.