Langmuir Adsorpsiyonu ve Büyük Kanonik Monte Carlo
Bir yüzeyde $M$ bağlanma yeri olsun; her yer boş ya da tek bir atomla dolu olabilir ve dolu bir yerin enerjisi $-\varepsilon$'dur. Yüzey, sıcaklığı $T$ ve kimyasal potansiyeli $\mu$ olan bir gazla hem enerji hem parçacık alışverişi yapar; bu nedenle doğal küme büyük kanonik kümedir:
$$\mathcal{Z} = \sum_{N} \lambda^N Z_N = \left(1 + \lambda e^{\beta\varepsilon}\right)^M,\qquad \lambda = e^{\beta\mu}.$$Ortalama doluluk ve sayı dalgalanması $\mathcal{Z}$'nin $\lambda$'ya göre türevlerinden gelir:
$$\theta = \frac{\langle N\rangle}{M} = \frac{\lambda e^{\beta\varepsilon}}{1+\lambda e^{\beta\varepsilon}},\qquad \langle \Delta N^2\rangle = \lambda\frac{\partial\langle N\rangle}{\partial\lambda} = M\theta(1-\theta).$$Gaz ideal ise $\lambda = P\lambda_{\text{th}}^3/kT$, $\lambda_{\text{th}} = h/\sqrt{2\pi mkT}$ olur ve Langmuir izotermi elde edilir:
$$\theta(P) = \frac{P}{P + P_0(T)},\qquad P_0(T) = \frac{kT}{\lambda_{\text{th}}^3}\,e^{-\varepsilon/kT}.$$Komşu etkileşimi: örgü gazı = Ising modeli
Dolu komşu yer çiftleri $-J$ ek enerjisi kazanırsa sistem örgü gazıdır. $n_i = (1+s_i)/2$ dönüşümüyle, $J_{\text{Ising}} = J/4$ ve $h = (\mu+\varepsilon)/2 + J$ alanlı Ising modeline eşlenir (kare örgü, $z = 4$). Kritik sıcaklık $kT_c = 2.269\,J/4 = 0.567\,J$'dir. $T < T_c$ iken $h = 0$, yani $\lambda e^{\beta\varepsilon} = e^{-2\beta J}$ basıncında yüzeyde iki boyutlu "yoğuşma" olur: $\theta$ neredeyse 0'dan neredeyse 1'e sıçrar. Ising tarafı için Ising modeli simülasyonuna bakın.
Parametreler
Gaz: argon ($m = 39.95$ u), $20\times20$ periyodik örgü ($M = 400$). Her adımda rastgele bir yer seçilir; boşsa ekleme, doluysa çıkarma denenir. Kabul olasılıkları büyük kanonik ağırlık $e^{\beta(\mu+\varepsilon)N + \beta J N_{\text{çift}}}$'ten gelir. Ortalamalar, her parametre değişiminden sonra ilk 150 tarama atılarak alınır.
Hesaplama
Bunu dene
1. $J = 0$, $T = 150$ K, $\varepsilon = 0.20$ eV seçin. Yüzeyin yarısının dolu olduğu basınç $P_0$ nedir? Basıncı bu değere getirip simülasyondaki $\theta$'yı istatistiksel hatasıyla birlikte okuyun.
Açıklama
2. Aynı ayarlarda ($\theta \approx 1/2$) okunan sayı dalgalanması $\langle\Delta N^2\rangle$ nedir? $\langle N\rangle$'ye göre bağıl dalgalanma $M$ ile nasıl ölçeklenir? Ardından $T = 250$ K, $J = 30$ meV ve $\log_{10}(P/\text{Pa}) = 6.57$ seçin (bu, $\lambda e^{\beta\varepsilon} = e^{-2\beta J}$ simetri noktasıdır). $\theta$ ve $\langle\Delta N^2\rangle/M$ ne olur?
Açıklama
3. $T = 150$ K, $\varepsilon = 0.20$ eV, $J = 40$ meV seçip "İzoterm ölç" düğmesine basın. Kritik sıcaklık nedir? İzoterm hangi basınçta ve nasıl değişir?