Ana sayfa › İstatistik Fizik › Kanonik Küme-II

Kanonik Küme II: İki Atomlu Gaz

Etkileşmeyen moleküllerden oluşan bir gazda bir molekülün enerjisi öteleme, dönme ve titreşim (ve elektronik) katkılarının toplamıdır. Bu yüzden bölüşüm fonksiyonu çarpanlara ayrılır:

$$Z_1 = Z_{\text{öt}}\,Z_{\text{dön}}\,Z_{\text{tit}},\qquad Z_N = \frac{Z_1^N}{N!}.$$ $$Z_{\text{öt}} = \frac{V}{\lambda^3},\ \ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2\pi mkT}};\qquad Z_{\text{dön}} = \sum_{J=0}^{\infty}(2J+1)\,e^{-J(J+1)\theta_r/T};\qquad Z_{\text{tit}} = \frac{e^{-\theta_v/2T}}{1 - e^{-\theta_v/T}}$$

Burada $\theta_r = \hbar^2/2Ik$ ve $\theta_v = \hbar\omega/k$ karakteristik sıcaklıklardır. Her katkı $C = \partial\langle E\rangle/\partial T$'ye ayrı ayrı eklenir. Klasik eşbölüşüm her serbestlik derecesine $\tfrac12 R$ verir, ancak bir serbestlik derecesi yalnızca $T \gtrsim \theta$ olduğunda "uyanır". $T \ll \theta$ iken o serbestlik derecesi donmuştur.

Homonükleer moleküller ve orto/para hidrojen

Aynı iki çekirdekten oluşan moleküllerde dalga fonksiyonunun simetrisi her $J$'yi izin vermez; yüksek sıcaklıkta bunun etkisi $Z_{\text{dön}} \approx T/\sigma\theta_r$ ($\sigma = 2$) ile hesaba katılır. H₂'de çekirdek spinleri toplamı $I = 0$ olan para hidrojen yalnızca çift $J$'lerde, $I = 1$ olan orto hidrojen (3 kat dejenere) yalnızca tek $J$'lerde bulunur. İki tür arasındaki dönüşüm çok yavaş olduğundan, sıradan hidrojen soğutulduğunda 3:1 karışımı olarak "donmuş" kalır. Ölçülen ısı sığası denge eğrisine değil, bu donmuş karışımın eğrisine uyar (Dennison, 1927).

Parametreler

Molekül

H₂ dönme modeli

Katkıları ayrı göster Klasik eşbölüşüm basamaklarını göster

Grafiğe tıklayarak sıcaklığı seçin. Moleküllerin ayrışması ve elektronik uyarılma hesaba katılmamıştır; birkaç bin kelvinin üstünde gerçek gazlar bu modelden sapar.

Hesaplama

Bunu dene

1. N₂ seçin ve $T = 300$ K'de $C_V/R$ değerini okuyun. Hangi serbestlik dereceleri etkin, hangisi donmuş?

Açıklama

$C_V/R \approx 2.502$. Öteleme (3/2) ve dönme (1, çünkü $T \gg \theta_r = 2.88$ K) tam etkin. Titreşim donmuş: $\theta_v/T = 11.2$ olduğundan katkısı yalnızca ≈ 0.002. Oda sıcaklığında havanın $\gamma = 7/5$ olmasının nedeni budur.

2. Titreşimin katkısının tam değerinin yarısına ($R/2$) ulaştığı sıcaklık $T/\theta_v$ cinsinden nedir? N₂ ve H₂ için bu kaç K'dir?

Açıklama

$x^2e^x/(e^x-1)^2 = 1/2$ denkleminin çözümü $x = \theta_v/T \approx 2.98$, yani $T \approx 0.335\,\theta_v$. N₂ için ≈ 1131 K, H₂ için ≈ 2123 K. Gerçekte H₂ bu sıcaklıklarda ayrışmaya başlar.

3. H₂ seçin ve dönme modelini "Denge" ile "Donmuş 3:1 karışım" arasında değiştirin. 20–300 K arasında $C_{\text{dön}}/R$ eğrileri nasıl farklılaşıyor? Hangisi deneyle uyumludur?

Açıklama

Denge eğrisi $T \approx 49$ K'de ($T \approx 0.57\,\theta_r$) $C_{\text{dön}} \approx 2.07\,R$ değerinde belirgin bir tepe yapar, ardından ≈ 150 K'de 0.69 R'ye iner ve 1'e yukarıdan değil aşağıdan yaklaşır. Donmuş 3:1 karışımın eğrisi ise tepesizdir: 100 K'de ≈ 0.21 R, 200 K'de ≈ 0.77 R değerindedir ve 1'e düzgün biçimde çıkar. Deney donmuş karışım eğrisini izler, çünkü orto–para dönüşümü katalizör olmadan haftalarca sürer. Bu uyum, proton spininin 1/2 olduğunun ilk kanıtlarından biridir.

İstatistik Fizik dersindeki diğer simülasyonlar

Galton Tahtası, Merkezi Limit ve Rastgele Yürüyüş Einstein Katısı: Mikrodurumlar, Entropi ve Sıcaklık Ehrenfest Kutuları ve Tersinmezlik İki Seviyeli Sistem, Paramanyet ve Metropolis Özdeş Parçacıklar: Mikrodurum Sayımı ve Gibbs Paradoksu Moleküler Demet ve Maxwell–Boltzmann Hız Dağılımı Langmuir Adsorpsiyonu ve Büyük Kanonik Monte Carlo Bose–Einstein Yoğuşması ve Kuantum İstatistikleri İki Boyutlu Ising Modeli ve Faz Geçişleri