Salınımlar: Yay, Sönüm, Rezonans ve Sarkaç
Geri çağırıcı kuvvet yer değiştirmeyle orantılıysa ($F = -kx$) hareket basit harmoniktir: $x(t) = A\cos(\omega_0 t + \varphi)$, $\omega_0 = \sqrt{k/m}$. Hıza orantılı bir sürtünme ($-bv$) eklenince denklem $m\ddot x + b\dot x + kx = 0$ olur. Burada $\gamma = b/2m$ sönüm sabitidir ($x \propto e^{-\gamma t}$).
Rejimler: $\gamma < \omega_0$ az sönümlü (salınır, $\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$), $\gamma = \omega_0$ kritik sönümlü, $\gamma > \omega_0$ aşırı sönümlü. Kalite faktörü $Q = \omega_0/2\gamma$.
Dış kuvvet $F_0\cos\omega t$ ile zorlanan salınıcı geçici hareketin sönmesinden sonra sürücü frekansında salınır: $$A(\omega) = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2 + (2\gamma\omega)^2}},\qquad \tan\delta = \frac{2\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2}.$$
Elektriksel benzeşim: LC ve RLC devresi
Seri RLC devresinde $L\ddot q + R\dot q + q/C = 0$ denklemi kütle–yay denklemiyle aynı biçimdedir. Bu yüzden buradaki tüm sonuçlar devreler için de geçerlidir.
| Mekanik | Elektrik |
|---|---|
| yer değiştirme $x$ | yük $q$ |
| hız $v$ | akım $I$ |
| kütle $m$ | indüktans $L$ |
| yay sabiti $k$ | $1/C$ |
| sönüm $b$ | direnç $R$ |
| $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ | $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ |
| $\tfrac12 kx^2 + \tfrac12 mv^2$ | $\tfrac{q^2}{2C} + \tfrac12 L I^2$ |
Parametreler
Hesaplama
Bunu dene
1. Kütle–yay sisteminde $m = 1$ kg, $k = 20$ N/m seçin. Kritik sönüm için $b$ ne olmalıdır? $b$'yi bu değerin altına ve üstüne getirip $x(t)$ grafiğinin ve faz uzayı eğrisinin nasıl değiştiğini gözleyin.
Açıklama
2. Zorlanmış salınımda $m = 1$ kg, $k = 20$ N/m, $b = 0.8$ kg/s, $F_0 = 1$ N seçin. Genliğin en büyük olduğu sürücü frekansı ve bu genlik nedir? Faz farkı rezonansta yaklaşık kaç derecedir?
Açıklama
3. Sarkaçta $L = 1$ m alın. $\theta_0 = 10^\circ$ ve $\theta_0 = 60^\circ$ için periyodu küçük açı periyoduyla karşılaştırın. Yüzde kaç fark var?