Sıkı Bağlanma Modeli ve Fermi Yüzeyleri
Sıkı bağlanma modelinde elektron atomik orbitallerde yerelleşmiştir ve komşu atoma $t$ (atlama, "hopping") genliğiyle geçer. En yakın komşu atlamasında Bloch toplamı $E(\vec k) = \varepsilon_0 - t\sum_{\vec\delta} e^{i\vec k\cdot\vec\delta}$ verir: $$\text{zincir: } E = \varepsilon_0 - 2t\cos ka,\qquad \text{kare örgü: } E = -2t(\cos k_xa + \cos k_ya)$$ Bant genişliği $2zt$'dir ($z$: komşu sayısı): zincirde $4t$, kare örgüde $8t$.
Fermi yüzeyi (2B'de Fermi çizgisi), $E(\vec k) = E_F$ eş-enerji eğrisidir; içi doludur. Az dolulukta bant tabanı parabolik olduğundan Fermi yüzeyi neredeyse çemberdir. Kare örgüde yarı dolulukta (site başına 1 elektron) yüzey $|k_x|+|k_y| = \pi/a$ karesine dönüşür. Bu karenin karşılıklı kenarları tek bir $\vec Q = (\pi/a,\pi/a)$ vektörüyle örtüşür (nesting). Durum yoğunluğunda ise $E=0$'da logaritmik bir van Hove tekilliği vardır.
Grafen ve SSH zinciri
Grafenin bal peteği örgüsünde hücrede iki karbon atomu (A, B) vardır, dolayısıyla iki bant oluşur: $E_\pm(\vec k) = \pm t\,|1 + e^{i\vec k\cdot\vec a_1} + e^{i\vec k\cdot\vec a_2}|$. Bantlar Brillouin bölgesinin $K$ ve $K'$ köşelerinde birbirine değer. Bu Dirac noktalarında dağınım doğrusaldır, $E = \pm\hbar v_F|\vec q|$ ve $v_F = 3ta/2\hbar$ ($a$: C–C uzaklığı).
Atlamaları $t_1, t_2, t_1, t_2,\dots$ biçiminde değişen dimerleşmiş zincirde (SSH) hücrede iki site vardır: $E_\pm = \pm|t_1 + t_2e^{-ika}|$. $k = \pi/a$'da $2|t_1-t_2|$ genişliğinde bir aralık açılır; yarı dolu zincir yalıtkan olur (Peierls).
Harrison yapısı
Serbest elektronlar için Fermi çemberinin yarıçapı (2B, spin dahil, hücre başına $Z$ elektron) $k_F = \sqrt{2\pi Z}/a$'dır. Ters örgünün her noktasına bu yarıçapta bir çember çizilir. Bir $\vec k$ noktası, kaç ters örgü noktasının dik ortay doğrusunu geçerek ulaşıldığına göre 1., 2., 3. … bölgeye düşer. Her bölgenin parçaları ters örgü vektörleriyle 1. bölgeye taşınınca, o bantın dolu kısmı (indirgenmiş bölge şemasında Fermi yüzeyi) elde edilir.
Parametreler
Brillouin bölgesi haritasına tıklayarak bir $\vec k$ noktasının enerjisini ve grup hızını görün. Doluluk, site başına elektron sayısıdır (spin dahil; en fazla 2).
Hesaplama
Bunu dene
1. Kare örgüde doluluğu 0.1'den 1.0'a çıkarın. Fermi yüzeyinin şekli nasıl değişiyor? Az dolulukta $k_F$'yi serbest elektron formülü $k_F = \sqrt{2\pi n_e}/a$ ile karşılaştırın.
Açıklama
2. Grafen modelinde $t = 2.7$ eV, $n_e = 1$ seçin. Fermi düzeyi nerede? $K$ noktası yakınına tıklayıp eğimi okuyun ve $v_F = 3ta/2\hbar$ ile karşılaştırın ($a = 1.42$ Å).
Açıklama
3. Harrison yapısında $Z = 2$ seçin. 1. ve 2. bölgenin ne kadarı dolu? Bu iki boyutlu "metal" neden yalıtkan değil?