Atom Zincirinde Fononlar
Kristaldeki atomlar komşularına yaylarla (kuvvet sabiti $C$) bağlı gibi davranır. Bir boyutlu zincirde $u_n \propto e^{i(kna-\omega t)}$ biçimindeki normal modlar için hareket denklemi, frekans ile dalga sayısı arasında bir dispersiyon bağıntısı verir. Tek atomlu zincirde (kütle $m$, örgü sabiti $a$): $$\omega(k) = 2\sqrt{\frac{C}{m}}\,\left|\sin\frac{ka}{2}\right|$$
Atomlar yalnızca $x_n = na$ noktalarında bulunduğundan $k$ ile $k + 2\pi/a$ aynı atom hareketini verir; bu yüzden fiziksel olarak farklı tüm modlar 1. Brillouin bölgesinde $(-\pi/a < k \le \pi/a)$ toplanır. Küçük $k$ için $\omega \approx v_s k$ (ses dalgası), bölge sınırında grup hızı $v_g = d\omega/dk$ sıfırdır (duran dalga).
İki atomlu zincir
Hücrede kütleleri $m_1$ ve $m_2$ olan iki atom varsa iki dal oluşur: $$\omega^2 = C\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) \pm C\sqrt{\left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right)^2 - \frac{4\sin^2(ka/2)}{m_1 m_2}}$$ Alt dal akustik (komşu atomlar aynı fazda), üst dal optik (zıt fazda) daldır. $m_1 \ne m_2$ ise bölge sınırında $\sqrt{2C/m_\text{büyük}}$ ile $\sqrt{2C/m_\text{küçük}}$ arasında bir frekans aralığı açılır.
Parametreler
Dispersiyon grafiğine tıklayarak bir $(k,\omega)$ noktası seçin. Gri bölge 1. Brillouin bölgesidir; dışına tıklarsanız aynı atom hareketinin bölge içindeki eşdeğer $k$ ile elde edildiğini görürsünüz.
Hesaplama
Bunu dene
1. Tek atomlu zincirde (C = 20 N/m, m = 40 u, a = 3.0 Å) çok küçük bir $k$ seçin. Grup hızı ses hızına ne kadar yakın? Ses hızı kaç m/s?
Açıklama
2. Aynı zincirde $k = \pi/a$ (bölge sınırı) seçin. Komşu atomlar nasıl hareket ediyor? Grup hızı nedir? Sonra $k = 2\pi/a$'ya tıklayın: ne değişti?
Açıklama
3. İki atomlu zincirde $m_1 = 40$ u, $m_2 = 80$ u alın. Bölge sınırındaki akustik ve optik frekansları okuyun. $m_2$'yi $40$ u'ya düşürünce aralığa ne oluyor?