Ana sayfa › Elektromanyetik Teori I › Özel Teknikler · Görüntü Yöntemi

Görüntü Yöntemi

Bir iletkenin önündeki yükün oluşturduğu potansiyel, Poisson denkleminin sınır koşullu çözümüdür. Teklik teoremi gereği, fiziksel bölgede doğru yükü içeren ve iletkenin yüzeyinde doğru sınır koşulunu ($V = 0$ ya da $V = V_0$) sağlayan her çözüm tek çözümdür. Görüntü yöntemi bu çözümü, iletkenin içine (fiziksel bölgenin dışına) yerleştirilen hayali yüklerle kurar.

$$\text{Düzlem: } q' = -q \ (z = -d), \qquad \text{Küre: } q' = -\frac{R}{a}\,q,\quad b = \frac{R^2}{a}$$

İletken yüzeyindeki indüklenen yük yoğunluğu $\sigma = \varepsilon_0\,\vec E\cdot\hat n = -\varepsilon_0\,\partial V/\partial n$ ile bulunur. Görüntü yükü yalnızca fiziksel bölgedeki alanı doğru verir; iletkenin içinde gerçek alan sıfırdır.

Enerji neden yarıya iner?

Görüntü yükü gerçek bir yük değildir: $q$ hareket ettikçe o da hareket eder. Yükü sonsuzdan getirmek için yapılan iş $W = \int_\infty^d \vec F\cdot d\vec l = -\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q^2}{4d}$ olur; bu, iki gerçek yük için yazılacak $-\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0 (2d)}$ değerinin yarısıdır. Alan enerjisi yalnızca fiziksel bölgede ($z>0$) depolanır.

Düzenek:

Parametreler

Görüntü yüklerini göster Alan çizgileri Potansiyel renk haritası

Yükü sürükleyerek taşıyın. Fiziksel bölgede herhangi bir noktaya tıklayınca o noktadaki $V$ ve $\vec E$, her yükün katkısıyla birlikte hesaplanır.

pozitif yüknegatif yükgörüntü yükü / iletken içi (hayali) alan

Hesaplama

Bunu dene

1. Düzlem düzeneğinde $q = 5$ nC, $d = 0.30$ m seçin. Yüke etkiyen kuvveti ve yükü sonsuzdan bu konuma getirmek için gereken işi bulun. Sayısal olarak bulunan toplam indüklenen yük nedir?

Açıklama

$$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{(2d)^2} = \frac{(8.99\times10^9)(5\times10^{-9})^2}{(0.60)^2} = 6.24\times10^{-7}\ \text{N}\ \text{(düzleme doğru)}$$ $$W = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q^2}{4d} = -1.87\times10^{-7}\ \text{J}$$ İndüklenen yük $\int\sigma\,da = -q = -5.00$ nC çıkar. $d$ değiştikçe $\sigma$'nın dağılımı değişir ama toplamı değişmez.

2. Topraklanmış küre düzeneğinde $R = 0.30$ m, $a = 0.60$ m, $q = 5$ nC seçin. Görüntü yükünü ve yükün konumunu bulun, kuvveti hesaplayın. Sonra "nötr küre" düzeneğine geçin: kuvvet nasıl değişti?

Açıklama

$q' = -qR/a = -2.50$ nC, $b = R^2/a = 0.15$ m. Topraklanmış kürede çekim $F = k|qq'|/(a-b)^2 = 5.55\times10^{-7}$ N. Nötr kürede merkeze ayrıca $+2.50$ nC eklenir; bu, $k(5)(2.5)\times10^{-18}/a^2 = 3.12\times10^{-7}$ N itme verir, net çekim $2.43\times10^{-7}$ N'a düşer. Nötr kürenin potansiyeli $V_0 = kq/a = 74.9$ V'tur.

3. Köşe düzeneğinde yükü $(0.40, 0.30)$ m'ye koyun ($q = 5$ nC). Kaç görüntü yükü gerekir? Kuvvetin bileşenlerini bulun.

Açıklama

Üç görüntü: $-q$ at $(-0.4, 0.3)$, $-q$ at $(0.4, -0.3)$, $+q$ at $(-0.4, -0.3)$. Toplam kuvvet: $F_x = -1.71\times10^{-7}$ N, $F_y = -4.89\times10^{-7}$ N, $|F| = 5.19\times10^{-7}$ N. Açı $\pi/n$ olan bir kama için ($n$ tam sayı) $2n - 1$ görüntü gerekir; $90^\circ$ için $n = 2$.

Elektromanyetik Teori I dersindeki diğer simülasyonlar

Diverjans ve Rotasyonel Laplace Denklemi: Gevşeme ve Fourier Serisi Multipol Açılımı Dielektrikler: Polarizasyon ve Sınır Koşulları