Diverjans ve Rotasyonel: Kutu ve Çark Deneyi
Bir vektör alanının diverjansı, bir noktayı çevreleyen küçük bir yüzeyden çıkan net akının alana (3B'de hacme) oranının limitidir; rotasyoneli ise küçük bir eğri boyunca dolaşımın alana oranının limitidir:
$$\nabla\cdot\vec F = \lim_{A\to 0}\frac{1}{A}\oint_{\partial A}\vec F\cdot\hat n\,d\ell,\qquad (\nabla\times\vec F)_z = \lim_{A\to 0}\frac{1}{A}\oint_{\partial A}\vec F\cdot d\vec\ell .$$Bu sayfada iki boyutlu alanlar için "kutu" (akı) ve "çark" (dolaşım) ile bu limitleri sayısal olarak hesaplayıp analitik türevlerle karşılaştırıyoruz. Sonlu bölgeler için aynı ölçümler diverjans teoremini ve Stokes teoremini verir:
$$\oint_{\partial S}\vec F\cdot\hat n\,d\ell = \iint_S \nabla\cdot\vec F\,dA,\qquad \oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec\ell = \iint_S (\nabla\times\vec F)_z\,dA .$$Tekil noktalar ve Dirac deltası
İki boyutta $\hat r/r$ alanının diverjansı başlangıç noktası dışında her yerde sıfırdır, ama başlangıcı çevreleyen her eğriden çıkan akı $2\pi$'dir: $\nabla\cdot(\hat r/r) = 2\pi\,\delta^2(\vec r)$. Benzer biçimde girdap alanı $\hat\varphi/r$ için $(\nabla\times\vec F)_z = 2\pi\,\delta^2(\vec r)$ olur. (3B'deki karşılığı $\nabla\cdot(\hat r/r^2) = 4\pi\,\delta^3(\vec r)$.) Teoremler ancak delta katkısı da yüzey integraline eklendiğinde sağlanır.
Parametreler
Kutuyu ve çarkı sürükleyerek taşıyın; boyutlarını sürgülerle değiştirin. Boyut küçüldükçe akı/alan ve dolaşım/alan oranlarının analitik değere yaklaşmasını izleyin.
Hesaplama
Bunu dene
1. "Düzgün kaynak (x, y)" alanını seçin. Kutuyu farklı yerlere taşıyın ve boyutunu değiştirin. Akı/alan oranı nerede ve hangi boyutta olursa olsun hep aynı mı?
Açıklama
2. "Girdap φ̂/r" alanında çarkı başlangıç noktasını içermeyen bir yere, sonra başlangıcı içine alacak biçimde yerleştirin. Dolaşım nasıl değişiyor? Yarıçapı değiştirmek sonucu etkiliyor mu?
Açıklama
3. "Kesme akışı (y, 0)" alanını seçin. Akım çizgileri düz olduğu hâlde çark dönüyor mu? Hangi yönde?